الأربعاء، 3 مارس، 2010

حجم الهرم ومساحته الجانبية 1






مسألة

جد الارتفاع والارتفاع الجانبي للهرم الثلاثي القائم، المبين في الشكل الآتي، ثم احسب كلا من مساحته الجانبية وحجمه.

معلومات سابقة

جد مساحة مثلث متساوي الأضلاع بدلالة طول ضلعه س .

الشرح

تعلمت سابقا ً أنه يمكن حساب المساحة الجانبية والكلية لشبكة المجسم . انظر إلى الشكل الآتي الذي يبين هرما ً ثلاثيا ً قائما ً وشبكته، ويبين- أيضا ً -الفرق بين ارتفاع الهرم ( طول العمود النازل من رأس الهرم إلى قاعدته)، والارتفاع الجانبي للهرم( ارتفاع أي مثلث من المثلثات التي تكون الجوانب) .

لاحظ أنَّ مجموع مساحات السطوح الجانبية للشبكة يساوي المساحة الجانبية للهرم.

وما يميز الهرم القائم أنَّ قاعدته منتظمة ( مثلث متطابق الأضلاع ، مربع ، خماسي منتظم،...)، وأنَّ أوجهه الجانبية هي مثلثات متطابقة الساقين.

انظر الشكل الآتي الذي يبين هرماً رباعياً قائماً وشبكته:

ولحساب مساحة الهرم الجانبية؛ نجد مجموع مساحات المثلثات التي تكون الجوانب.انظر الشكل الآتي الذي يمثل شبكة هرم رباعي قائم:

المساحة الجانبية = مجموع مساحات المثلثات التي تكون الجوانب.

(بالتعاون مع زملائك، وضح كيف تمّ التوصل إلى هذا القانون ).

مثال:

هرم ثلاثي قائم، طول ضلع قاعدته =6 سم، وارتفاعه الجانبي 4 سم. جد مساحته الجانبية ومساحته الكلية .

الحل:

= × (6 + 6 + 6) × 4 = 36 سم 2.

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة .

وبالرجوع إلى المسألة الواردة في بداية الدرس، وباستخدام نظرية فيثاغوروس على المثلث أ و جـ القائم الزاوية في و:

فإن : (أ و )2 = ( أ جـ)2 - ( جـ و )2

= 100 - 64 = 36 ........ جـ و = نصف جـ د = 8 .

إذن:

أ و = 6 سم = الارتفاع الجانبي للهرم.

النقطة هـ تقسم القطعة المستقيمة ب و بنسبة 1 : 2 = وهـ:هـ ب

وبتطبيق نظرية فيثاغوروس على المثلث ب جـ و القائم الزاوية في و ، فإنَّ :

(ب و )2 = 256 - 64 = 192.

وعليه :

من المثلث أ هـ و القائم الزاوية في هـ:

ومنه :

(أهـ)2 = 14.7 سم .

= 3.8 سم ارتفاع الهرم .

المساحة الجانبية للهرم = × (16+16+16) × 6

= 144 سم 2 .

حجم الهرم = 140.4 سم3.( وضح كيف تمّ التوصل إلى الإجابة) .

الاستنتاج

تطبيقات

تدريب(1):

هرم رباعي قائم، طول ضلع قاعدته 8 سم، وارتفاعه 4 سم. جد مساحته الجانبية وحجمه.

تدريب (2):

هرم رباعي قائم، مساحته الجانبية = 48 سم 2 ، وطول ضلع قاعدته 4 سم. جد ارتفاعه الجانبي ، ثم جد حجمه.

حل ورقة العمل T627-0402-WDT-01 التي تهدف إلى التقييم الذاتي.

حل ورقة العملT627-0402-WDH-02 للتدريب البيتي.

‏هناك تعليق واحد: