الأربعاء، 3 مارس 2010

حجم الهرم ومساحته الجانبية 1

مسألة

جد الارتفاع والارتفاع الجانبي للهرم الثلاثي القائم، المبين في الشكل الآتي، ثم احسب كلا من مساحته الجانبية وحجمه.

معلومات سابقة

جد مساحة مثلث متساوي الأضلاع بدلالة طول ضلعه س .

الشرح

تعلمت سابقا ً أنه يمكن حساب المساحة الجانبية والكلية لشبكة المجسم . انظر إلى الشكل الآتي الذي يبين هرما ً ثلاثيا ً قائما ً وشبكته، ويبين- أيضا ً -الفرق بين ارتفاع الهرم ( طول العمود النازل من رأس الهرم إلى قاعدته)، والارتفاع الجانبي للهرم( ارتفاع أي مثلث من المثلثات التي تكون الجوانب) .

لاحظ أنَّ مجموع مساحات السطوح الجانبية للشبكة يساوي المساحة الجانبية للهرم.

وما يميز الهرم القائم أنَّ قاعدته منتظمة ( مثلث متطابق الأضلاع ، مربع ، خماسي منتظم،...)، وأنَّ أوجهه الجانبية هي مثلثات متطابقة الساقين.

انظر الشكل الآتي الذي يبين هرماً رباعياً قائماً وشبكته:

ولحساب مساحة الهرم الجانبية؛ نجد مجموع مساحات المثلثات التي تكون الجوانب.انظر الشكل الآتي الذي يمثل شبكة هرم رباعي قائم:

المساحة الجانبية = مجموع مساحات المثلثات التي تكون الجوانب.

(بالتعاون مع زملائك، وضح كيف تمّ التوصل إلى هذا القانون ).

مثال:

هرم ثلاثي قائم، طول ضلع قاعدته =6 سم، وارتفاعه الجانبي 4 سم. جد مساحته الجانبية ومساحته الكلية .

الحل:

= × (6 + 6 + 6) × 4 = 36 سم ².

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة .

وبالرجوع إلى المسألة الواردة في بداية الدرس، وباستخدام نظرية فيثاغوروس على المثلث أ و جـ القائم الزاوية في و:

فإن : (أ و )² = ( أ جـ)²- ( جـ و )²

= 100 - 64 = 36 ........ جـ و = نصف جـ د = 8 .

إذن:

أ و = 6 سم = الارتفاع الجانبي للهرم.

النقطة هـ تقسم القطعة المستقيمة ب و بنسبة 1 : 2 = وهـ:هـ ب

وبتطبيق نظرية فيثاغوروس على المثلث ب جـ و القائم الزاوية في و ، فإنَّ :

(ب و )²= 256 - 64 = 192.

وعليه :

من المثلث أ هـ و القائم الزاوية في هـ:

ومنه :

(أهـ)²= 14.7 سم .

= 3.8 سم ارتفاع الهرم .

المساحة الجانبية للهرم = × (16+16+16) × 6

= 144 سم² .

حجم الهرم = 140.4 سم³.( وضح كيف تمّ التوصل إلى الإجابة) .

الاستنتاج

تطبيقات

تدريب(1):

هرم رباعي قائم، طول ضلع قاعدته 8 سم، وارتفاعه 4 سم. جد مساحته الجانبية وحجمه.

تدريب (2):

هرم رباعي قائم، مساحته الجانبية = 48 سم ² ، وطول ضلع قاعدته 4 سم. جد ارتفاعه الجانبي ، ثم جد حجمه.

حل ورقة العمل T627-0402-WDT-01 التي تهدف إلى التقييم الذاتي.

حل ورقة العملT627-0402-WDH-02 للتدريب البيتي.

مساحة سطح المجسمات 2

مسألة

إذا أردت تصميم خيمة على شكل أسطوانة يعلوها مخروط دائري قائم ، كما في الشكل الآتي، وكانت تكلفة المتر المربع من القماش المستخدم لصناعتها 8 دنانير . احسب تكلفة عمل هذه الخيمة .

معلومات سابقة

1) دائرة محيطها 24 سم، قطع منها قطاع دائري قياس زاويته المركزية 90 ْ . جد طول قوس القطاع .

2) جد حجم منشور ارتفاعه 5 سم، ومساحة قاعدته 6 سم² .

الشرح

تعلمت سابقاً تكوين شبكة المجسم التي تمثل السطح الخارجي له ؛ لذا يمكن حساب المساحة الكلية للمجسم من خلال حساب مساحة شبكته.

مثال(1):

كوِّن شبكة كلٍّ من المجسمات الآتية:

الحل :

انظر الشكل الآتي:

مثال(2):

يبين الشكل الآتي شبكة منشور ارتفاعه 12 سم، وقاعدته مربعة، طول ضلعها 6 سم.

احسب المساحة الكلية للمنشور.

الحل:

تلاحظ من الشكل السابق الذي يمثل شبكة منشور أنَّ له 4 أوجه جانبية مستطيلة الشكل، طول كلٍّ منها 12 سم، وعرضه 6 سم ،

فتكون المساحة الجانبية = 4 × ( 12 × 6) = 288 سم ² .

وأما القاعدتان، فهما مربعتا الشكل، مساحة كلٍّ منهما 6 ×6 = 36 سم² ،فتكون المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين

= 288 + 2 × 36 = 360 سم.

انظر الشكل الآتي:

إذا قمت بقص علبة أسطوانية مفتوحة من الطرفين عمودياً ، ثمّ قمت بفردها، ستجد أنها كونت مستطيلا ً ، أحد بعديه هو محيط قاعدة الأسطوانة، والبعد الآخر هو ارتفاعها.

انظر الشكل الآتي:

محيط قاعدة الأسطوانة = 2 × نق × p = طول المستطيل

ارتفاع الأسطوانة ع = عرض المستطيل.

المساحة الجانبية للأسطوانة = مساحة المستطيل الناتج من فردها .

= الطول × العرض

= 2 × نق × p × ع

أما إذا كانت الأسطوانة مغلقة من الطرفين: العلوي والسفلي، فإنَّ المساحة الكليَّة للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين.( مساحتي الدائرتين )

= 2 × نق × p × ع + 2 × نق² × p .

ويمكن كتابة القاعدة على الصورة الآتية:

المساحة الكلية = 2 × نق × p (ع + نق) ... بإخراج العامل المشترك .

مثال( 3):

أسطوانة دائرية قائمة، نصف قطر قاعدتها 3 سم، وارتفاعها 5 سم. احسب مساحتها :

1- الجانبية .

2- الكلية.

الحل:

1- المساحة الجانبية = 2 × نق × p × ع = 2× 3 × 3.14 ×5 = 94.2 سم ² .

2- المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين.

= 94.2 + 2 × 9 × 3.14

= 150.72 سم ²

إذا تم قصُّ قطاع دائري من دائرة نصف قطرها نقَ ، وقياس زاويته المركزية سْ ، ثم ثني القطاع ليكوِّن مخروطا ً دائريا ً قائما مفتوحا ً، فإنَّ :

مساحته الجانبية = مساحة القطاع الدائري الذي يكونه .

ولإيجاد المساحة الجانبية للمخروط، فإنَّ :

مساحة القطاع = مساحة الدائرة × قياس الزاوية المركزية ÷ 360 ْ .

لكن محيط قاعدة المخروط = طول قوس القطاع الدائري .......... (2)

باستخدام التناسب التالي :

من العلاقة ( 2):

محيط قاعدة المخروط = طول قوس القطاع الدائري

وبتعويض نق^/في علاقة ( 1)، ينتج أنَّ :

وبما أنَّ المساحة الكلية للمخروط الدائري القائم = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة ، فإنَّ :

المساحة الكلية = p ل نق + p نق²= p نق ( ل + نق ).

مثال(4):

مخروط دائري قائم، نصف قطر قاعدته 5 سم، وارتفاعه 12سم. جد مساحته الكلية.

الحل:

المساحة الكلية = p نق ( ل + نق ) .

لكن من نظرية فيثاغوروس :

ل²= نق ² + ع ²= 25 + 144 = 169

إذن:

ل = 13 سم .

وعليه فإنَّ :

المساحة الكلية = 3.14 × 5 × 13 + 3.14 × 25

= 282.6 سم ².

أما مساحة سطح الكرة، فهي:

استنتج مع معلمك المساحة الكلية للهرم؛ لتستطيع حلّ الأنشطة في الوسيطة الإلكترونية T627-0401-MFA-01 .

استخدم الوسيطة الإلكترونية T627-0401-MFA-01 التي تتدرب من خلالها على حساب مساحات المجسمات.

لاحظ حل المسألة الواردة في بداية الدرس :

المساحة الكلية للخيمة = المساحة الجانبية للجزء الأسطواني + المساحة الجانبية للجزء المخروطي.

= 2 × 2 × 3.14 × 1.5 + 2 × 3.14 × 2 = 31.4 مترا ً مربعا ً.

إذن:

تكلفة عمل الخيمة = 8 × 31.4 = 251.2 دينارا ً.

الاستنتاج

1- تساعد شكبة المجسم على تعرف المساحتين؛ الجانبية والكلية للمجسم. وبشكل عام، فإن مساحة سطح شبكة هندسية لمجسم ما، تساوي مساحته الكلية .

2- المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين.

= 2 × نق × p × ع + 2 × نق² × p .

3- المساحة الكلية للمخروط الدائري القائم = المساحة الجانبية +مساحة القاعدة.

4- المساحة الكلية = p ل نق + p نق²= p نق ( ل + نق ).

تطبيقات

تدريب(1):

احسب تكاليف عمل صندوق خشبي مكعب الشكل طول حرفه 1.5 متر ، إذا كانت تكلفة المتر المربع منه 5 دنانير.

تدريب(2):

مخروط دائري قائم، نصف قطر قاعدته 3 دسم ، وارتفاعه 4 دسم . جد مساحته الكلية.

تدريب (3):

قطعة من المعدن أسطوانية الشكل، نصف قطر قاعدتها 3 سم وارتفاعها 6 سم.

صهرت ثم سكبت في قالب لتكون مجسما ً مخروطيا ً ، نصف قطر قاعدته 4 سم، ومساحته الجانبية تساوي المساحة الجانبية للقطعة الأسطوانية . جد ارتفاع المجسم المخروطي.

حل ورقة العمل T627-0401-WDT-02 التقييمية .

حل ورقة العمل T627-0401-WDH-03 كواجب بيتي.

حجم الكرة والمخروط 3

مسألة

احسب حجم كل من الكرة والمخروط في الشكلين الآتيين:

معلومات سابقة

تعلمت سابقا ً كيف تحسب حجوم بعض المجسمات، مثل: المنشور القائم، والأسطوانة الدائرية القائمة. وستدرس ، الآن، طريقة حساب حجم المخروط وحجم الكرة .

تذكر:

حجم الأسطوانة الدائرية القائمة، التي نصف قطر قاعدتها نق، وارتفاعها ع ، معطى بالقانون :

نفِّذ النشاط الآتي لمعرفة حجم المخروط ، من خلال حجم الأسطوانة:

وعاء أسطواني الشكل مملوء بالماء، وثلاثة أوعية مخروطية الشكل لها طول نصف قطر الأسطوانة نفسه، ولها ارتفاع الأسطوانة نفسه كذلك. قم بتفريغ الماء من الوعاء الأسطواني إلى الأوعية المخروطية. ماذا تلاحظ؟

تلاحظ أن الأوعية المخروطية الثلاثة امتلأت بالماء، وأن الوعاء الأسطواني قد أُفرغ تماما . وهذا يعني أنَّ حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط إذا كان لهما نصف قطر القاعدة والارتفاع نفسه.

وعليه، فإن :