مسألة
* أسطوانة دائرية قائمة، ومنشور رباعي قائم، متساويان في الحجم ، إذا كانت قاعدة المنشور مربعة الشكل، طول حرفها 4 سم ، وارتفاع المنشور 12 سم ، وكان نصف قطر قاعدة الأسطوانة 7 سم ، فجد ارتفاع هذه الأسطوانة.
معلومات سابقة
سمِّ كلَّ مجسَّمٍ من المجسماتِ التالية:
أوجد حجم الأسطوانة القائمة التي نصف قطرها 7 سم، وارتفاعها 16 سم.
منشور رباعي قائم، قاعدته مربعة الشكل، طول ضلعها 5 سم ، أوجد حجمه إذا كان ارتفاعه 14 سم.
الشرح
تعلمت سابقا أن:
- حجم المنشورالرباعي القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
- كما أنَّ حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
يختلف شكل قاعدة المنشور الرباعي عن شكل قاعدة الأسطوانة.استنادا إلى ذلك، أجب عن الأسئلة التالية:
1- ما شكل قاعدة المنشور الرباعي؟
2- ما شكل قاعدة الأسطوانة ؟
لندرس الحالة التي يتساوي فيها حجم المنشور مع حجم الأسطوانة.
افترضْ أنَّ المنشورَ رباعيٌ، وقاعدته مستطيل
حجم المنشور الرباعي = حجم الأسطوانة
مسا حة القاعدة ( المستطيل )× ارتفاع المنشور ( ع 1 ) = مساحةالقاعدة ( الدائرة ) × ع2
الطول × العرض × ع1 = نق 2 p× ع2
فيكون
ع1 = ( نق2 p× ع2 ) / ( الطول × العرض )
لو فرضنا أن مساحة قاعدة المنشور = مساحة قاعدة الأسطوانة
فيكون ارتفاع المنشور ع1 = ارتفاع الأسطوانة ع2
لو فرضنا أنَّ ع1 = ع2
فتكون مساحة قاعدة المنشور = مساحة قاعدة الأسطوانة
أي نق 2 p= الطول × العرض
نق2= ( الطول × العرض ) / p
ولإيجاد نق ، نجد الجذر التربيعي الموجب للطرفين
تدريب 1 : أسطوانة دائرية قائمة، ومنشور رباعي قائم، متساويان في الحجم ، إذا كانت قاعدة المنشور الرباعي مربعة، وطول حرفها 7 سم ، وارتفاع المنشور 22 سم ، فجد حجم الأسطوانة.
تدريب 2 :إذا تساوى حجم الأسطوانة الدائرية القائمة مع حجم المنشور الرباعي القائم ، وكان حجم المنشور القائم 220 سم 3 ، فجد نصف قطر قاعدة الأسطوانة إذا كان ارتفاعها 18 سم.
افتح الوسيطة الإلكترونية : T340-0404-MFI-01
هدفها مناقشة الطلبة في أنَّ شكل المنشور يقترب من شكل الأسطوانة كلما زاد عدد أضلاع المنشور.
الاستنتاج
إذا تساوى حجم الأسطوانة مع حجم المنشور القائم ، فيمكن أن نجد أبعاد أحدهما إذا عُلِمَت أبعادُ الآخر.
تطبيقات
أجب عن الأسئلة التالية :
* استخدم p= 22/7 = 3.14 في المسائل جميعها.
س1 : خزان ماء أسطواني الشكل طوله 1.8 م ، وطول نصف قطر قاعدته 1.5 م ، مملوء ماء ، صُبَّ الماءُ جميعه في خزان مكعب الشكل حتى امتلأ ، أوجد طول حرف المكعب.
س2 : عند مها قطعة ذهب على شكل مكعب ، حجمه 125 سم 3، أرادت صَهْرَهُ وتغييرَهُ ليصبحَ أسطوانيَّ الشكلِ، فما ارتفاعه إذا كان نصف قطره 3 سم ؟
س3 : أسطوانة قطرها 8 م، وارتفاعها 14 م ، إذا كان حجمها ضِعْفَ حجم منشور رباعي مساحة قاعدته 68 م ، فأوجد ارتفاع المنشور الرباعي.
نفذ ورقة العمل :
T340-0404-WDA-02 هدفها التدرب على العلاقة بين حجمي المنشور والأسطوانة.
أخطاء شائعة
قد يخطئ بعض الطلبة عند تطبيق القوانين المتعلقة بالمساحات والحجوم.
* أسطوانة دائرية قائمة، ومنشور رباعي قائم، متساويان في الحجم ، إذا كانت قاعدة المنشور مربعة الشكل، طول حرفها 4 سم ، وارتفاع المنشور 12 سم ، وكان نصف قطر قاعدة الأسطوانة 7 سم ، فجد ارتفاع هذه الأسطوانة.
معلومات سابقة
سمِّ كلَّ مجسَّمٍ من المجسماتِ التالية:
أوجد حجم الأسطوانة القائمة التي نصف قطرها 7 سم، وارتفاعها 16 سم.
منشور رباعي قائم، قاعدته مربعة الشكل، طول ضلعها 5 سم ، أوجد حجمه إذا كان ارتفاعه 14 سم.
الشرح
تعلمت سابقا أن:
- حجم المنشورالرباعي القائم = مساحة القاعدة × الارتفاع
- كما أنَّ حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
يختلف شكل قاعدة المنشور الرباعي عن شكل قاعدة الأسطوانة.استنادا إلى ذلك، أجب عن الأسئلة التالية:
1- ما شكل قاعدة المنشور الرباعي؟
2- ما شكل قاعدة الأسطوانة ؟
لندرس الحالة التي يتساوي فيها حجم المنشور مع حجم الأسطوانة.
افترضْ أنَّ المنشورَ رباعيٌ، وقاعدته مستطيل
حجم المنشور الرباعي = حجم الأسطوانة
مسا حة القاعدة ( المستطيل )× ارتفاع المنشور ( ع 1 ) = مساحةالقاعدة ( الدائرة ) × ع2
الطول × العرض × ع1 = نق 2 p× ع2
فيكون
ع1 = ( نق2 p× ع2 ) / ( الطول × العرض )
لو فرضنا أن مساحة قاعدة المنشور = مساحة قاعدة الأسطوانة
فيكون ارتفاع المنشور ع1 = ارتفاع الأسطوانة ع2
لو فرضنا أنَّ ع1 = ع2
فتكون مساحة قاعدة المنشور = مساحة قاعدة الأسطوانة
أي نق 2 p= الطول × العرض
نق2= ( الطول × العرض ) / p
ولإيجاد نق ، نجد الجذر التربيعي الموجب للطرفين
تدريب 1 : أسطوانة دائرية قائمة، ومنشور رباعي قائم، متساويان في الحجم ، إذا كانت قاعدة المنشور الرباعي مربعة، وطول حرفها 7 سم ، وارتفاع المنشور 22 سم ، فجد حجم الأسطوانة.
تدريب 2 :إذا تساوى حجم الأسطوانة الدائرية القائمة مع حجم المنشور الرباعي القائم ، وكان حجم المنشور القائم 220 سم 3 ، فجد نصف قطر قاعدة الأسطوانة إذا كان ارتفاعها 18 سم.
افتح الوسيطة الإلكترونية : T340-0404-MFI-01
هدفها مناقشة الطلبة في أنَّ شكل المنشور يقترب من شكل الأسطوانة كلما زاد عدد أضلاع المنشور.
الاستنتاج
إذا تساوى حجم الأسطوانة مع حجم المنشور القائم ، فيمكن أن نجد أبعاد أحدهما إذا عُلِمَت أبعادُ الآخر.
تطبيقات
أجب عن الأسئلة التالية :
* استخدم p= 22/7 = 3.14 في المسائل جميعها.
س1 : خزان ماء أسطواني الشكل طوله 1.8 م ، وطول نصف قطر قاعدته 1.5 م ، مملوء ماء ، صُبَّ الماءُ جميعه في خزان مكعب الشكل حتى امتلأ ، أوجد طول حرف المكعب.
س2 : عند مها قطعة ذهب على شكل مكعب ، حجمه 125 سم 3، أرادت صَهْرَهُ وتغييرَهُ ليصبحَ أسطوانيَّ الشكلِ، فما ارتفاعه إذا كان نصف قطره 3 سم ؟
س3 : أسطوانة قطرها 8 م، وارتفاعها 14 م ، إذا كان حجمها ضِعْفَ حجم منشور رباعي مساحة قاعدته 68 م ، فأوجد ارتفاع المنشور الرباعي.
نفذ ورقة العمل :
T340-0404-WDA-02 هدفها التدرب على العلاقة بين حجمي المنشور والأسطوانة.
أخطاء شائعة
قد يخطئ بعض الطلبة عند تطبيق القوانين المتعلقة بالمساحات والحجوم.
الله يجزاك خير
ردحذف