مسألة 
قام كرم وزين بشراء هدية بمناسبة نجاح ابن عمهما أحمد في المدرسة، وقاما بوضعها في صندوق على شكل منشور رباعي طوله 18 سم، وعرضه 14 سم، وارتفاعه 10 سم . ولإيجاد كمية الورق الملون اللازم لِلَفِّ الهديةِ ، يجب على زين وكرم أن يجدا المساحة السطحية للصندوق . ساعدهما على ذلك.
معلومات سابقة
احسب مساحة الأشكال التالية :
- مستطيل، أبعاده 6 سم ، 8 سم.
- دائرة نصف قطرها7 سم .
-مثلث متساوي الأضلاع، طول ضلعه 8 سم.
سَمِّ كلَّ مجسَّمٍ من المجسمات التالية، و أوجد عدد رؤوسها، و عدد أحرفها، و عدد أوجهها الجانبية، و شكل كل وجه، و عدد القواعد، وشكل كل قاعدة.
الشرح
المنشور الرباعي وشبكته :
تَمَّ عملُ منشور رباعي من الشبكة التي أمامك، طوله 4 سم، و عرضه 3 سم، و ارتفاعه 1 سم. و لإيجاد مساحة سطح المنشور؛ نجد مساحة الشبكة. لاحظ أن الشبكة تتكون من 6 مستطيلات أبعادها مبينة عليها.
مساحة الشبكة = مساحة المستطيلات ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )
= (3×4) + (3×1) +(4×3 )+ (4×1) + (3×1 ) + (4×1 )
= 38 سم2
لإيجاد المساحة الكلية للمنشور الرباعي ؛ نجد مساحة كل وجهين متقابلين:
الأمام و الخلف = 2 × (1×4 ) = 8 سم2
القاعدتان العليا و السفلى = 2 × (3×4 ) = 24 سم2
مساحة الوجهين الجانبيين = 2 × (3×1) = 6 سم2
المساحة الكلية = 6 + 24 + 8 = 38 سم2
الأسطوانة القائمة وشبكتها:
لاحظ أن شبكة الأسطوانة مكونة من مستطيل ودائرتين.
المستطيل يمثل جوانب الأسطوانة، والدائرتان تمثلان قاعدتي الأسطوانة.
عند حساب مساحة المستطيل، نكون قد حسبنا المساحة الجانبية للأسطوانة.
كما يمكننا حساب المساحة الجانبية للأسطوانة عن طريق القانون التالي:
المساحة الجانبية للأسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع =2 نق pع
ولحساب المساحة الكلية للأسطوانة عن طريق الشبكة، فإننا نحسب مساحة المستطيل، ونضيف إليها مجموع مساحتي الدائرتين.
مساحة القاعدة الواحدة = نق2 p.
المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين = 2 نق pع + 2تق2 p
مثال: أوجد المساحة الكلية لأسطوانة دائرية قائمة، نصف قطرها 10 سم، و ارتفاعها 20 سم؟(3.14= p)
المساحة الكلية للأسطوانة = p 2 نق ع + 2 نق2 p
= 2 × 3.14 × 10 × 20 + 2 × 100 × 3.14
= 628 + 1256 = 1884 سم2
تدريب:
أوجد ارتفاع أسطوانة قائمة مساحتها الجانبية 220 سم2 ، و نصف قطر قاعدتها 3.5 سم.
افتح الوسيطة الإلكترونية :
T340-0402-MFA-01 هدفها إيجاد مساحة سطح المجسم ( الأسطوانة والمنشور الثلاثي القائم ) من خلال الشبكات.
الاستنتاج
- المساحة الجانبية للأسطوانة القائمة = محيط قاعدتها × ارتفاعها = 2 نق pع
- المساحة الكلية للأسطوانة = مساحتها الجانبية + مساحة القاعدتين = 2 نق pع + 2 نق2 p
- المساحة الكلية للمنشور =المساحة الجانبية للمنشور + مساحة القاعدتين.
تطبيقات
اشترت مها برميلا أسطواني الشكل لحفظ المخلل ( الكبيس ) الذي تقوم بصنعه ، فإذا كان قطر غطاء البرميل 50 سم، وارتفاعه 80 سم، وأرادت مها أن تقوم بدهنه باللون الأحمر باستثناء الغطاء ، ما المساحة الي ستقوم بدهنها؟
أوجد المساحة السطحية لكل مجسم مما يأتي:
منشور ثلاثي قائم، ارتفاعه 10 سم، و طول ضلع قاعدته (المثلث) 3 سم। أوجد: مساحته الجانبية، و مساحته الكلية، علما بأن ارتفاع قاعدة المثلث 2 سم.
قام كرم وزين بشراء هدية بمناسبة نجاح ابن عمهما أحمد في المدرسة، وقاما بوضعها في صندوق على شكل منشور رباعي طوله 18 سم، وعرضه 14 سم، وارتفاعه 10 سم . ولإيجاد كمية الورق الملون اللازم لِلَفِّ الهديةِ ، يجب على زين وكرم أن يجدا المساحة السطحية للصندوق . ساعدهما على ذلك.
معلومات سابقة
احسب مساحة الأشكال التالية :
- مستطيل، أبعاده 6 سم ، 8 سم.
- دائرة نصف قطرها7 سم .
-مثلث متساوي الأضلاع، طول ضلعه 8 سم.
سَمِّ كلَّ مجسَّمٍ من المجسمات التالية، و أوجد عدد رؤوسها، و عدد أحرفها، و عدد أوجهها الجانبية، و شكل كل وجه، و عدد القواعد، وشكل كل قاعدة.
الشرح
المنشور الرباعي وشبكته :
تَمَّ عملُ منشور رباعي من الشبكة التي أمامك، طوله 4 سم، و عرضه 3 سم، و ارتفاعه 1 سم. و لإيجاد مساحة سطح المنشور؛ نجد مساحة الشبكة. لاحظ أن الشبكة تتكون من 6 مستطيلات أبعادها مبينة عليها.
مساحة الشبكة = مساحة المستطيلات ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )
= (3×4) + (3×1) +(4×3 )+ (4×1) + (3×1 ) + (4×1 )
= 38 سم2
لإيجاد المساحة الكلية للمنشور الرباعي ؛ نجد مساحة كل وجهين متقابلين:
الأمام و الخلف = 2 × (1×4 ) = 8 سم2
القاعدتان العليا و السفلى = 2 × (3×4 ) = 24 سم2
مساحة الوجهين الجانبيين = 2 × (3×1) = 6 سم2
المساحة الكلية = 6 + 24 + 8 = 38 سم2
الأسطوانة القائمة وشبكتها:
لاحظ أن شبكة الأسطوانة مكونة من مستطيل ودائرتين.
المستطيل يمثل جوانب الأسطوانة، والدائرتان تمثلان قاعدتي الأسطوانة.
عند حساب مساحة المستطيل، نكون قد حسبنا المساحة الجانبية للأسطوانة.
كما يمكننا حساب المساحة الجانبية للأسطوانة عن طريق القانون التالي:
المساحة الجانبية للأسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع =2 نق pع
ولحساب المساحة الكلية للأسطوانة عن طريق الشبكة، فإننا نحسب مساحة المستطيل، ونضيف إليها مجموع مساحتي الدائرتين.
مساحة القاعدة الواحدة = نق2 p.
المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين = 2 نق pع + 2تق2 p
مثال: أوجد المساحة الكلية لأسطوانة دائرية قائمة، نصف قطرها 10 سم، و ارتفاعها 20 سم؟(3.14= p)
المساحة الكلية للأسطوانة = p 2 نق ع + 2 نق2 p
= 2 × 3.14 × 10 × 20 + 2 × 100 × 3.14
= 628 + 1256 = 1884 سم2
تدريب:
أوجد ارتفاع أسطوانة قائمة مساحتها الجانبية 220 سم2 ، و نصف قطر قاعدتها 3.5 سم.
افتح الوسيطة الإلكترونية :
T340-0402-MFA-01 هدفها إيجاد مساحة سطح المجسم ( الأسطوانة والمنشور الثلاثي القائم ) من خلال الشبكات.
الاستنتاج
- المساحة الجانبية للأسطوانة القائمة = محيط قاعدتها × ارتفاعها = 2 نق pع
- المساحة الكلية للأسطوانة = مساحتها الجانبية + مساحة القاعدتين = 2 نق pع + 2 نق2 p
- المساحة الكلية للمنشور =المساحة الجانبية للمنشور + مساحة القاعدتين.
تطبيقات
اشترت مها برميلا أسطواني الشكل لحفظ المخلل ( الكبيس ) الذي تقوم بصنعه ، فإذا كان قطر غطاء البرميل 50 سم، وارتفاعه 80 سم، وأرادت مها أن تقوم بدهنه باللون الأحمر باستثناء الغطاء ، ما المساحة الي ستقوم بدهنها؟
أوجد المساحة السطحية لكل مجسم مما يأتي:
منشور ثلاثي قائم، ارتفاعه 10 سم، و طول ضلع قاعدته (المثلث) 3 سم। أوجد: مساحته الجانبية، و مساحته الكلية، علما بأن ارتفاع قاعدة المثلث 2 سم.
مسألة
* وُضِعَ عددٌ من الشُّموع، شكلُ كلِّ شمعة منها منشورٌ رباعيٌ، قاعدته مربعة، وطول حرف القاعدة 4 سم ، وارتفاعه 15 سم- في صندوق طوله 40 سم، وعرضه18 سم وارتفاعه 15 سم ، أوجد عدد الشموع التي يمكن وضعها في الصندوق بحيث نتمكن من إغلاقه .
معلومات سابقة
حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة × الارتفاع
مثال :
منشور رباعي طول قاعدته 5 سم، وعرضه 5 سم ، وارتفاعه 3سم ، أوجد حجمه .
مساحة القاعدة المربعة = 5× 5 = 25سم 2
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 25سم 2 × 3سم = 75 سم 3
مثال :
أسطوانة قطر قاعدتها 8 م، وارتفاعها 14 مترا ، أوجد حجمها .
حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع .
مساحة القاعدة الدائرية = نق 2 × Õ= 4 2 × 3.14 = 16 × 3.14 م2
حجم الأسطوانة = 16 × 3.14 × 14 = 703.36 م3
الشرح
لحل المسألة الواردة في بداية الدرس؛ نفذ خطوات حل المسألة :
الفهم :
- المطلوب من السؤال : عدد الشموع التي يمكن وضعها في صندوق بحيث نتمكن من إغلاقه .
ما المعطيات ؟ وماذا تعرف ؟أبعاد كل شمعة التي شكلها منشور رباعي قاعدته مربعة وأبعاد الصندوق ( المنشور الرباعي ) ، ومعادلة حجم المنشور الرباعي .
خطة الحل : ماذا يمكنك أن تفعل لتجد الإجابة ؟
ارسم مخططا للشمعة، وضَعْ عليه الأبعاد، وجِدْ حجمها، ثم ارسم مخططا للصندوق، وضَعْ عليه أبعاده .
أفكر : بما أن المطلوب توزيع قطع الشمع في الصندوق ، علي أن أجد حجم الشمعة الواحدة، ثم أجد سعة الصندوق ، وأقسـّم سعة الصندوق على حجم الشمعة الواحدة، فأحصل على عدد الشموع.
الحل :
- حجم الشمعة = مساحة القاعدة × الارتفاع = 4 × 4 × 15 = 240 سم 2
- حجم الصندوق = مساحة القاعدة × الارتفاع = 40 × 15 × 18 = 10800سم2
- عدد الشموع = 10800 ÷ 240 = 45 شمعة.
التحقق :انظر مرة أخرى إلى المسألة ، هل الجواب معقول ؟
استخدم عملية التقدير أو التقريب للتحقق من معقولية الجواب .
10800نقربها إلى 11000
240 نقربها إلى 200
فيكون 11000 ÷ 200 = 55 ، وهي قريبة من الجواب الصحيح .
تدريب :
- حوض سمك على شكل منشور رباعي، طوله 12 سم، وعرضه 14 سم، وارتفاعه 12 سم ، أوجد كمية الماء اللازمة لملء هذا الحوض .
سؤال :
- تحدث بلغتك عن التغير الذي يحصل على حجم المنشور الرباعي الذي طول قاعدته س، وعرضه ص، وارتفاعه ع ، إذا أصبح طوله 2س، وعرضه ص، وارتفاعه ع .
مثال :
- أسطوانة دائرية قائمة، سعتها 24.64 من اللتر ، وطول نصف قطر قاعتها 28 سم
أوجد ارتفاعها. (استخدم Õ= 3.14 )
ملاحظة : نفذ خطوات حل المسألة لإيجاد الحل
الحل:
- سعة الأسطوانة = نق2 × ع ×Õ
- 24.64 × 1000سم 3 = 3.14× 28 × 28 × ع
- بَرِّرْ عمليةَ الضرب في 1000.
- ع= 10 سم
- تحقق من الجواب.
افتح الوسيطة الإلكترونية : T340-0403-MFA-01
هدفها التدرب على حل المسألة عن المنشور والأسطوانة.
الاستنتاج
نوظف خطوات حل المسألة وقوانين الحجوم لحل مسائل متعلقة بحجوم المجسمات.
تطبيقات
احسب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة التي مساحة قاعدتها 50 سم2 وارتفاعها 12سم.
منشور رباعي قائم، قاعدته مربعة الشكل، ارتفاعه 10سم ، وحجمه 360سم3 ، أوجد طول قاعدته.
قامت داليا بعمل مقلمة أسطوانية الشكل لحفظ أدواتها الهندسية ، فإذا كان ارتفاع المقلمة 32.5 سم ، فأوجد حجم المقلمة إذا كان نصف قطرها 7.5 سم.
اشترى محمد برميلا أسطواني الشكل لحفظ الحبوب في مزرعته ، إذا كان قطر غطاء البرميل 50 سم ، وارتفاعه 80 سم، فأوجد سعة هذا البرميل من الحبوب.
صندوق على شكل منشور رباعي ، يستخدم لإطعام الدجاج في مزرعة أمين، إذا كانت سعته 45 قدما مكعبا ، وطوله 10 أقدام، وعرضه 3 أقدام، فأوجد ارتفاع هذا الصندوق.
نَفِّذْ ورقة العمل :
T340-0403-WDH-02
هدفها التدرب على حل المسألة عن حجم كل من المنشور الرباعي والأسطوانة.
* وُضِعَ عددٌ من الشُّموع، شكلُ كلِّ شمعة منها منشورٌ رباعيٌ، قاعدته مربعة، وطول حرف القاعدة 4 سم ، وارتفاعه 15 سم- في صندوق طوله 40 سم، وعرضه18 سم وارتفاعه 15 سم ، أوجد عدد الشموع التي يمكن وضعها في الصندوق بحيث نتمكن من إغلاقه .
معلومات سابقة
حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة × الارتفاع
مثال :
منشور رباعي طول قاعدته 5 سم، وعرضه 5 سم ، وارتفاعه 3سم ، أوجد حجمه .
مساحة القاعدة المربعة = 5× 5 = 25سم 2
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = 25سم 2 × 3سم = 75 سم 3
مثال :
أسطوانة قطر قاعدتها 8 م، وارتفاعها 14 مترا ، أوجد حجمها .
حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع .
مساحة القاعدة الدائرية = نق 2 × Õ= 4 2 × 3.14 = 16 × 3.14 م2
حجم الأسطوانة = 16 × 3.14 × 14 = 703.36 م3
الشرح
لحل المسألة الواردة في بداية الدرس؛ نفذ خطوات حل المسألة :
الفهم :
- المطلوب من السؤال : عدد الشموع التي يمكن وضعها في صندوق بحيث نتمكن من إغلاقه .
ما المعطيات ؟ وماذا تعرف ؟أبعاد كل شمعة التي شكلها منشور رباعي قاعدته مربعة وأبعاد الصندوق ( المنشور الرباعي ) ، ومعادلة حجم المنشور الرباعي .
خطة الحل : ماذا يمكنك أن تفعل لتجد الإجابة ؟
ارسم مخططا للشمعة، وضَعْ عليه الأبعاد، وجِدْ حجمها، ثم ارسم مخططا للصندوق، وضَعْ عليه أبعاده .
أفكر : بما أن المطلوب توزيع قطع الشمع في الصندوق ، علي أن أجد حجم الشمعة الواحدة، ثم أجد سعة الصندوق ، وأقسـّم سعة الصندوق على حجم الشمعة الواحدة، فأحصل على عدد الشموع.
الحل :
- حجم الشمعة = مساحة القاعدة × الارتفاع = 4 × 4 × 15 = 240 سم 2
- حجم الصندوق = مساحة القاعدة × الارتفاع = 40 × 15 × 18 = 10800سم2
- عدد الشموع = 10800 ÷ 240 = 45 شمعة.
التحقق :انظر مرة أخرى إلى المسألة ، هل الجواب معقول ؟
استخدم عملية التقدير أو التقريب للتحقق من معقولية الجواب .
10800نقربها إلى 11000
240 نقربها إلى 200
فيكون 11000 ÷ 200 = 55 ، وهي قريبة من الجواب الصحيح .
تدريب :
- حوض سمك على شكل منشور رباعي، طوله 12 سم، وعرضه 14 سم، وارتفاعه 12 سم ، أوجد كمية الماء اللازمة لملء هذا الحوض .
سؤال :
- تحدث بلغتك عن التغير الذي يحصل على حجم المنشور الرباعي الذي طول قاعدته س، وعرضه ص، وارتفاعه ع ، إذا أصبح طوله 2س، وعرضه ص، وارتفاعه ع .
مثال :
- أسطوانة دائرية قائمة، سعتها 24.64 من اللتر ، وطول نصف قطر قاعتها 28 سم
أوجد ارتفاعها. (استخدم Õ= 3.14 )
ملاحظة : نفذ خطوات حل المسألة لإيجاد الحل
الحل:
- سعة الأسطوانة = نق2 × ع ×Õ
- 24.64 × 1000سم 3 = 3.14× 28 × 28 × ع
- بَرِّرْ عمليةَ الضرب في 1000.
- ع= 10 سم
- تحقق من الجواب.
افتح الوسيطة الإلكترونية : T340-0403-MFA-01
هدفها التدرب على حل المسألة عن المنشور والأسطوانة.
الاستنتاج
نوظف خطوات حل المسألة وقوانين الحجوم لحل مسائل متعلقة بحجوم المجسمات.
تطبيقات
احسب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة التي مساحة قاعدتها 50 سم2 وارتفاعها 12سم.
منشور رباعي قائم، قاعدته مربعة الشكل، ارتفاعه 10سم ، وحجمه 360سم3 ، أوجد طول قاعدته.
قامت داليا بعمل مقلمة أسطوانية الشكل لحفظ أدواتها الهندسية ، فإذا كان ارتفاع المقلمة 32.5 سم ، فأوجد حجم المقلمة إذا كان نصف قطرها 7.5 سم.
اشترى محمد برميلا أسطواني الشكل لحفظ الحبوب في مزرعته ، إذا كان قطر غطاء البرميل 50 سم ، وارتفاعه 80 سم، فأوجد سعة هذا البرميل من الحبوب.
صندوق على شكل منشور رباعي ، يستخدم لإطعام الدجاج في مزرعة أمين، إذا كانت سعته 45 قدما مكعبا ، وطوله 10 أقدام، وعرضه 3 أقدام، فأوجد ارتفاع هذا الصندوق.
نَفِّذْ ورقة العمل :
T340-0403-WDH-02
هدفها التدرب على حل المسألة عن حجم كل من المنشور الرباعي والأسطوانة.
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق