مسألة
إذا أردت تصميم خيمة على شكل أسطوانة يعلوها مخروط دائري قائم ، كما في الشكل الآتي، وكانت تكلفة المتر المربع من القماش المستخدم لصناعتها 8 دنانير . احسب تكلفة عمل هذه الخيمة .
معلومات سابقة
1) دائرة محيطها 24 سم، قطع منها قطاع دائري قياس زاويته المركزية 90 ْ . جد طول قوس القطاع .
2) جد حجم منشور ارتفاعه 5 سم، ومساحة قاعدته 6 سم2 .
الشرح
تعلمت سابقاً تكوين شبكة المجسم التي تمثل السطح الخارجي له ؛ لذا يمكن حساب المساحة الكلية للمجسم من خلال حساب مساحة شبكته.
مثال(1):
كوِّن شبكة كلٍّ من المجسمات الآتية:
الحل :
انظر الشكل الآتي:
مثال(2):
يبين الشكل الآتي شبكة منشور ارتفاعه 12 سم، وقاعدته مربعة، طول ضلعها 6 سم.
احسب المساحة الكلية للمنشور.
الحل:
تلاحظ من الشكل السابق الذي يمثل شبكة منشور أنَّ له 4 أوجه جانبية مستطيلة الشكل، طول كلٍّ منها 12 سم، وعرضه 6 سم ،
فتكون المساحة الجانبية = 4 × ( 12 × 6) = 288 سم 2 .
وأما القاعدتان، فهما مربعتا الشكل، مساحة كلٍّ منهما 6 ×6 = 36 سم2 ، فتكون المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين
= 288 + 2 × 36 = 360 سم.
انظر الشكل الآتي:
إذا قمت بقص علبة أسطوانية مفتوحة من الطرفين عمودياً ، ثمّ قمت بفردها، ستجد أنها كونت مستطيلا ً ، أحد بعديه هو محيط قاعدة الأسطوانة، والبعد الآخر هو ارتفاعها.
انظر الشكل الآتي:
محيط قاعدة الأسطوانة = 2 × نق × p = طول المستطيل
ارتفاع الأسطوانة ع = عرض المستطيل.
المساحة الجانبية للأسطوانة = مساحة المستطيل الناتج من فردها .
= الطول × العرض
= 2 × نق × p × ع
أما إذا كانت الأسطوانة مغلقة من الطرفين: العلوي والسفلي، فإنَّ المساحة الكليَّة للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين.( مساحتي الدائرتين )
= 2 × نق × p × ع + 2 × نق2 × p .
ويمكن كتابة القاعدة على الصورة الآتية:
المساحة الكلية = 2 × نق × p (ع + نق) ... بإخراج العامل المشترك .
مثال( 3):
أسطوانة دائرية قائمة، نصف قطر قاعدتها 3 سم، وارتفاعها 5 سم. احسب مساحتها :
1- الجانبية .
2- الكلية.
الحل:
1- المساحة الجانبية = 2 × نق × p × ع = 2× 3 × 3.14 ×5 = 94.2 سم 2 .
2- المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين.
= 94.2 + 2 × 9 × 3.14
= 150.72 سم 2
إذا تم قصُّ قطاع دائري من دائرة نصف قطرها نقَ ، وقياس زاويته المركزية سْ ، ثم ثني القطاع ليكوِّن مخروطا ً دائريا ً قائما مفتوحا ً، فإنَّ :
مساحته الجانبية = مساحة القطاع الدائري الذي يكونه .
ولإيجاد المساحة الجانبية للمخروط، فإنَّ :
مساحة القطاع = مساحة الدائرة × قياس الزاوية المركزية ÷ 360 ْ .
لكن محيط قاعدة المخروط = طول قوس القطاع الدائري .......... (2)
باستخدام التناسب التالي :
من العلاقة ( 2):
محيط قاعدة المخروط = طول قوس القطاع الدائري
وبتعويض نق/ في علاقة ( 1)، ينتج أنَّ :
وبما أنَّ المساحة الكلية للمخروط الدائري القائم = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة ، فإنَّ :
المساحة الكلية = p ل نق + p نق2 = p نق ( ل + نق ).
مثال(4):
مخروط دائري قائم، نصف قطر قاعدته 5 سم، وارتفاعه 12سم. جد مساحته الكلية.
الحل:
المساحة الكلية = p نق ( ل + نق ) .
لكن من نظرية فيثاغوروس :
ل2 = نق 2 + ع 2 = 25 + 144 = 169
إذن:
ل = 13 سم .
وعليه فإنَّ :
المساحة الكلية = 3.14 × 5 × 13 + 3.14 × 25
= 282.6 سم 2 .
أما مساحة سطح الكرة، فهي: 
استنتج مع معلمك المساحة الكلية للهرم؛ لتستطيع حلّ الأنشطة في الوسيطة الإلكترونية T627-0401-MFA-01 .
استخدم الوسيطة الإلكترونية T627-0401-MFA-01 التي تتدرب من خلالها على حساب مساحات المجسمات.
لاحظ حل المسألة الواردة في بداية الدرس :
المساحة الكلية للخيمة = المساحة الجانبية للجزء الأسطواني + المساحة الجانبية للجزء المخروطي.
= 2 × 2 × 3.14 × 1.5 + 2 × 3.14 × 2 = 31.4 مترا ً مربعا ً.
إذن:
تكلفة عمل الخيمة = 8 × 31.4 = 251.2 دينارا ً.
الاستنتاج
1- تساعد شكبة المجسم على تعرف المساحتين؛ الجانبية والكلية للمجسم. وبشكل عام، فإن مساحة سطح شبكة هندسية لمجسم ما، تساوي مساحته الكلية .
2- المساحة الكلية للأسطوانة = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين.
= 2 × نق × p × ع + 2 × نق2 × p .
3- المساحة الكلية للمخروط الدائري القائم = المساحة الجانبية +مساحة القاعدة.
4- المساحة الكلية = p ل نق + p نق2 = p نق ( ل + نق ).
تطبيقات
تدريب(1):
احسب تكاليف عمل صندوق خشبي مكعب الشكل طول حرفه 1.5 متر ، إذا كانت تكلفة المتر المربع منه 5 دنانير.
تدريب(2):
مخروط دائري قائم، نصف قطر قاعدته 3 دسم ، وارتفاعه 4 دسم . جد مساحته الكلية.
تدريب (3):
قطعة من المعدن أسطوانية الشكل، نصف قطر قاعدتها 3 سم وارتفاعها 6 سم.
صهرت ثم سكبت في قالب لتكون مجسما ً مخروطيا ً ، نصف قطر قاعدته 4 سم، ومساحته الجانبية تساوي المساحة الجانبية للقطعة الأسطوانية . جد ارتفاع المجسم المخروطي.
حل ورقة العمل T627-0401-WDT-02 التقييمية .
حل ورقة العمل T627-0401-WDH-03 كواجب بيتي.
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق